TÀI LIỆU THAM KHẢO TOÁN HỌC PHỔ THÔNG
______________________________________________________________

--------------------------------------------------------------------------------------------

CHUYÊN ĐỀ BPT, HỆ BPT BẬC NHẤT, BẬC HAI MỘT ẨN
(KẾT HỢP 3 BỘ SÁCH GIÁO KHOA)
HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
BPT, HỆ BPT BẬC NHẤT, BẬC HAI MỘT ẨN






CƠ BẢN BPT, HỆ BPT BẬC NHẤT MỘT ẨN (P1 – P6)
CƠ BẢN DẤU TAM THỨC BẬC HAI, BPT BẬC HAI MỘT ẨN (P1 – P6)
CƠ BẢN TỔNG HỢP BPT, HỆ BPT BẬC NHẤT, BẬC HAI MỘT ẨN (P1 – P6)
VẬN DỤNG CAO BPT, HỆ BPT BẬC NHẤT, BẬC HAI MỘT ẨN (P1 – P6)

THÂN TẶNG TOÀN THỂ QUÝ THẦY CÔ VÀ CÁC EM HỌC SINH TRÊN TOÀN QUỐC
CREATED BY GIANG SƠN (FACEBOOK)
GACMA1431988@GMAIL.COM (GMAIL); TEL 0333275320
THÀNH PHỐ THÁI BÌNH – THÁNG 10/2022

1

BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN LỚP 10 THPT
(LỚP BÀI TOÁN CƠ BẢN P1)

________________________________________
2
Câu 1. Tìm điều kiện tham số m để bất phương trình 3 x  m  mx  4m  3 nghiệm đúng với mọi số thực x.
A. m = 4


Hệ thống bài tập trắc nghiệm BPT, hệ BPT bậc nhất, bậc hai một ẩn

TÀI LIỆU THAM KHẢO TOÁN HỌC PHỔ THÔNG
______________________________________________________________

--------------------------------------------------------------------------------------------

CHUYÊN ĐỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
BẬC NHẤT HAI ẨN
(KẾT HỢP 3 BỘ SÁCH GIÁO KHOA)
HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

 CƠ BẢN BPT, HỆ BPT BẬC NHẤT HAI ẨN (P1 – P6)
 VẬN DỤNG CAO BPT, HỆ BPT BẬC NHẤT HAI ẨN (P1 – P6)

THÂN TẶNG TOÀN THỂ QUÝ THẦY CÔ VÀ CÁC EM HỌC SINH TRÊN TOÀN QUỐC
CREATED BY GIANG SƠN (FACEBOOK)
GACMA1431988@GMAIL.COM (GMAIL); TEL 0333275320
THÀNH PHỐ THÁI BÌNH – THÁNG 10/2022

1

BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN LỚP 10 THPT
(LỚP BÀI TOÁN CƠ BẢN P1)

________________________________________
Câu 1. Cặp số nào sau đây là nghiệm của bất phương trình 2 x  y  6
A.(0;1)
B. (1;3)
C. (1;1)
Câu 2. Miền biểu diễn nghiệm của bất phương trình 3x  2 y  5 là
A.Nửa mặt phẳng bên trái đường thẳng 3x  2 y  5 .
B.N

Hệ thống bài tập trắc nghiệm bất phương trình, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

   -  1.   B    T PH  Ì   NH B    C NH    T HAI      N   6 9  2.   BI    U DI    N   MI    N NGHI    M C Ủ   A B    T PH   TR Ì   NH B    C NH    T HAI      N TR     T PH    NG  T Ọ   A      70  D Ạ   NG   1:   X á   c đ ị   nh   B    t ph  ì   nh b    c nh    t hai      n   71  D Ạ   NG   2:   :   Bi    u di    n mi    n nghi    m c ủ   a b    t ph  ì   nh b    c nh    t hai      n   72  D Ạ   NG   3:   B à   i to á   n th    c t    73    CHƯƠNG I I :   B    T PH  Ì   NH  V À   H    B PT B    C NH    T NHI    U      N  D Ạ   NG   1:   :   T ì   m nghi    m   c ủ   a b    t ph  ì   nh b    c nh    t hai      n   75  D Ạ   NG   2:   Bi    u di    n t    p nghi    m c ủ   a b    t ph  ì   nh b    c nh    t hai      n   80     -  1.   H    B    T PHƯƠNG TR Ì   NH B    C NH    T HAI      N   81  2.   BI    U DI    N MI    N NGHI    M C Ủ   A   H    B    T PHƯƠNG  TR Ì   NH B    C NH    T HAI      N TRÊN M    T   PH    NG  T Ọ   A Đ   81  3.      NG D Ụ   NG C Ủ   A H    B    T PH  Ì   NH B    C  NH    T HAI      N  81  D Ạ   NG   1:   X á   c đ ị   nh   H    b    t phương tr ì   nh b    c nh    t hai      n   82  D Ạ   NG   2:   :   Bi    u di    n mi    n nghi    m c ủ   a   h    b    t phương tr ì   nh b    c nh    t hai      n   83  D Ạ   NG   3:      ng d    ng c ủ   a h    b    t ph  ì   nh b    c nh    t hai      n   85    D Ạ   NG 1:   : T ì   m nghi    m c ủ   a   H    b    t phương tr ì   nh b    c nh    t hai      n   87  D Ạ   NG 2:   Mi    n nghi    m   c ủ   a   H    b    t phương tr ì   nh b    c nh    t hai      n   91  D Ạ   NG 3:      ng d    ng c ủ   a h    b    t   ph  ì   nh b    c nh    t hai      n   94  

Chuyên đề ôn luyện bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bất đẳng thức Schur và phương pháp đổi
biến p,q,r
Võ Thành Văn
Lớp 11 Toán-Khối chuyên THPT-ĐHKH Huế

Nh÷ c¡c b¤n ¢ bi¸t, b§t ¯ng thùc Schur l mët b§t ¯ng thùc m¤nh v câ nhi·u ùng döng, tuy nhi¶n nâ v¨n
cán kh¡ xa l¤ vîi nhi·u b¤n håc sinh THCS công nh÷ THPT. Qua b i vi¸t n y, tæi muèn công c§p th¶m cho
c¡c b¤n mët k¾ thuªt º sû döng tèt BDT Schur, â l k¸t hñp vîi ph÷ìng ph¡p êi bi¸n p; q; r.
Tr÷îc h¸t, tæi xin nh-c l¤i v· b§t ¯ng thùc Schur v ph÷ìng ph¡p êi bi¸n p; q; r.

1

Bất đẳng thức Schur

ành lþ 1 (B§t ¯ng thùc Schur) Vîi måi sè thüc khæng ¥m a; b; c; k; ta luæn câ
ak (a

b)(a

c) + bk (b

c)(b

a) + ck (c

a)(c

b)

0:

Hai tr÷íng hñp quen thuëc ÷ñc sû döng nhi·u l k = 1 v k = 2

2

a(a

b)(a

c) + b(b

c)(b

a) + c(c

a2 (a

b)(a

c) + b2 (b

c)(b

a) + c2 (c

a)(c

b)

a)(c

b)

0

(i)
0

(ii)

Phương pháp đổi biến p; q; r

èi vîi mët sè b i b§t ¯ng thùc thu¦n nh§t èi xùng câ c¡c bi¸n khæng ¥m th¼ ta câ thº êi bi¸n l¤i nh÷ sau
°t p = a + b + c; q = ab + bc + ca; r = abc: V t

Bất đẳng thức Schur và phương pháp đổi biến PQR – Võ Thành Văn

Maths287 BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Bài 1 : Giải bất phương trình ( x 1) x 2 2 x + 5 4 x x 2 + 1 2 ( x + 1) Lời giải tham khảo : ( x 1) x 2 2 x + 5 4 x x 2 + 1 2 ( x + 1) ( x + 1) ( 2 + x 2 2 x + 5 ) + 2 x ( 2 x 2 + 1 x 2 2 x + 5 ) 0 ( x + 1) ( 2 + x 2 2 x + 5 ) + 2 x (4 x 2 + 4 x 2 + 2 x 5) 2 x 2 + 1 + x 2 2 x + 5 0 ( x + 1) ( 2 + x 2 2 x + 5 ) + 2 x ( x + 1) (3 x 1) 2 x 2 + 1 + x 2 2 x + 5 0 ( x + 1) [( 2 + x 2 2 x + 5 ) + 2 x (3 x 1) 2 x 2 + 1 + x 2 2 x + 5 ] 0 ( x + 1) [ 4 x 2 + 1 + 2 x 2 2 x + 5 + 2 ( x 2 + 1) ( x 2 2 x + 5) + (7 x 2 4 x + 5) 2 x 2 + 1 + x 2 2 x + 5 ] 0 Có 7 x 2 4 x + 5 = 7 ( x 2 4 7 x + 4 49 ) + 31 7 31 7 nên biểu thức trong ngoặc luôn > 0. Do đó bất phương trình x + 1 0 x 1 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là T = ( ; 1] Bài 2 : Giải bất phương trình x + 2 + x 2 x + 2 3 x 2 Lời giải tham khảo : x 2 3 bpt x + 2 3 x 2 + x 2 x 2 0 2 ( x 2) x + 2 + 3 x 2 + ( x 2) ( x + 1) 0 ( x 2) [ 2 x + 2 + 3 x 2 + x + 1 ] 0 1Maths287 BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Xét f ( x ) = 2 x + 2 + 3 x 2 + x + 1 f ( x ) = 1 x + 2 + 3 3 x 2 ( x + 2 + 3 x 2 ) + 1 > 0 f ( x ) f ( 2 3 ) > 0 Do đó bất phương trình x 2 0 x 2 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là T = [ 2 3 ; 2 ] Bài 3 : Giải bất phương trình 4 x + 1 + 2 2 x + 3 ( x 1) ( x 2 2) Lời giải tham khảo : x 1 Nhận thấy x = - 1 là một nghiệm của bất phương trình Xét x > - 1 ta có bất phương trình tương đương với 4 ( x + 1 2 ) + 2 ( 2 x + 3 3 ) x 3 x 2 2 x 12 4 ( x 3) x + 1 + 2 + 4 ( x 3) 2 x + 3 + 3 ( x 3) ( x 2 + 2 x + 4) ( x 3) ( 4 x + 1 + 2 + 4 2 x + 3 + 3 ( x + 1) 2 3 ) 0 Vì x > - 1 nên x + 1 > 0 và 2 x + 3 > 1 4 x + 1 + 2 + 4 2 x + 3 + 3 < 3 Do đó 4 x + 1 + 2 + 4 2 x + 3 + 3 ( x + 1) 2 3 < 0 Suy ra bất phương trình x 3 0 x 3 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là T = { 1 } ∪ [3; + ) Bài 4 : Giải bất phương trình x ( x + 2) ( x + 1) 3 x 1 Lời giải tham khảo : x 0 . Khi x 0 ta có ( x + 1) 3 x > 0 2

Tuyển tập 30 bài toán bất phương trình vô tỉ – Nguyễn Minh Tiến

Mô tả tài liệu đang được cập nhật...

Tuyển tập bất đẳng thức – Diễn đàn Mathscope

Tuyển tập bất đẳng thức – Diễn đàn Box Math

Chuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015   Biên so   1  LÊ XUÂN ĐẠI  ( GV THPT Chuyên V  ) B    h  -  CĐ. Các thí sinh của chúng ta đều rất sợ v     BĐT hoặc t       toán khó trong đề thi, nhằm phân   lo       t    quy    các bài toán v    này mu   th       giúp các em h      -   CĐ sắp tới.     này tôi tin các b     Khi chúng ta h       Dành tình yêu và s     c    và s      Thành công ch       ...  Nh      v   1. N   2. N     3. Đặc biệt chú trọng v      l     n       4. Luôn b     ); h   s   *   2   2   2 a   b   c   ab   bc   ca   (1)                v Chuyên đề Bất đẳng thức LTĐH năm 2015   Biên so   2 *   2 (a   b   c)   3(ab   bc   ca)   (2)                v   *   2   2   2   2 (a   b   c)   3(a   b   c )   (3)                v   *   1   1   4   1   1   1   9 ;   (4) a   b   a   b   a   b   c   a   b   c                        v   *   2   2   2   2   2   2 a   x   b   y   (a   b)   (x   y)   (5)                      v   *   2   2   2 x   y   (x   y)   (6) a   b   a   b            v   *   2   2   2   2 x   y   z   (x   y   z)   (7) a   b   c   a   b   c                     v   ......... D   D     x   y a   b     ;       x   y   z a   b   c        (v   (Các em hãy b     m   m   Trước hết xin đưa ra 3 phương pháp thông dụng nhất để chứng minh BĐT I. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG:  1.   Phương pháp chung     A   B    ta thường thực hiện theo một trong hai cách sau:  Cách 1 : Ta ch    A   B   0       . Để làm được điều này ta thường sử dụng hằng đẳng  th    A   B    thành t   Cách 2 : Xu  cách này thường cho ta lời giải không được tự nhi    bi     Chú ý : M   *   2 x   0    v    x         và   2 x   0   x   0         *   x   0    v    x         và   x   0   x   0         2. M 

Chuyên đề bất đẳng thức – Lê Xuân Đại

Mục lục  Chương 1.   MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC   3  1.1   Khái niệm và các tính chất của bất đẳng thức   . . . . .   3 1.1.1   Số thực dương, số thực âm   . . . . . . . . . . . . .   3 1.1.2   Khái niệm bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . .   3 1.1.3   Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức . . . . .   4 1.2   Một số vấn đề cấn lưu ý khi giải bài toán về bất đẳng thức   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   5 1.2.1   Dự đoán dấu “=” xảy ra . . . . . . . . . . . . . . .   5 1.2.2   Kĩ thuật chuẩn hóa   . . . . . . . . . . . . . . . . .   8 1.2.3   Bài tập   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   11 1.3   Hướng dẫn, đáp số   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   12  Chương 2.   CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN   13  2.1   Bất đẳng thức AM-GM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   13 2.1.1   Bất đẳng thức AM-GM   . . . . . . . . . . . . . . .   13 2.1.2   Các hệ quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   16 2.1.3   Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   16 2.1.4   Bài tập   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   27 2.2   Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz   . . . . . . . . . . . . . .   32 2.2.1   Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng đa thức   .   32 2.2.2   Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng phân thức   33 2.2.3   Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   34 2.2.4   Bài tập   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   42 2.3   Bất đẳng thức Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   45 1  WWW.TOANMATH.COM2   Mục lục  2.3.1   Bất đẳng thức Schur . . . . . . . . . . . . . . . . .   45 2.3.2   Các trường hợp đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . .   46 2.3.3   Bất đẳng thức Schur suy rộng . . . . . . . . . . .   46 2.3.4   Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   46 2.3.5   Bài tập   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   50 2.4   Hướng dẫn, đáp số   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   51 2.5   Tài liệu tham khảo   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   51  Nguyễn Tất Thu

Chuyên đề bất đẳng thức – Nguyễn Tất Thu

PHƯƠNG TRÌNH   -   B  T PHƯƠNG TRÌNH      H    PHƯƠNG TRÌNH  Ki  n th  c c  n nh  :  1. a   b a   b   a   b              4. 2  0 0  b b a   b a   b                       2. 2  0 b a   b   a   b              5. 2  0 b a   b   a   b             3.      0   0 a   b a   b   a   b                  Ví d    1:   Gi  i phương trình: 1   2   1 x   x   x                .  HD:   bi  n đ  i sao cho hai v    không âm r  i bình phương đưa v    d  ng cơ b  n.  Ví dũ 2:   Gi  i phương trình: 2   2   2  4   4   3   4   2 x   x   x   x   x   x   x                      .  HD:   bi  n đ  i hai v  , đ  t 2   4 t   x   x              d  ng đ  ng c  p.  Ví d    3:   Gi  i phương trình: 2  1   1   2   2 1 x   x         .  HD:     t sin x      , lư  ng giác hóa phương trình.  Ví d    4:   Gi  i phương trình: 3   2 3  2   2   1   27   27   13   2 x   x   x   x                .  HD:   Dùng đơn đi  u.  Ví d    5:   Gi  i phương trình:      2   2  3   2   1   3 x   x   x   x                .  HD:   Dùng lư  ng liên hi  p.  Ví d    6:   Gi  i phương trình: 2   2  4   20   4   29   97 x   x   x   x                   .  HD:   D  ng này hi  m g  p, xét hai vecto có t  a đ    thích h  p r  i đưa v        dài.  Ví d    7:   Gi  i phương trình: 2   3  3   1   3   2   0 x   x   x   x                   .  HD:   Bi  n đ  i v    d  ng đ  ng c  p, chú ý d  u. (Làm nhi  u thôi!)  Ví d    8:   Gi  i b  t   phương trình:      2   2  3   2   3   2   0 x   x   x   x             .  HD:   D  ng cơ b  n.  Ví d    9:   Gi  i   b  t phương trình: 3  2   0 4  x   x x            .  HD:   Chia kho  ng theo đi  u ki  n và gi  i bình thư  ng.Ví d    10:   (A - 2004) Gi  i b  t phương trình:      2  2   16   7 3 3   3  x   x x x   x                   .  Ví d    11:   Gi  i b  t phương trình: 2   2   2  8   15   2   15   4   18   18 x   x   x   x   x   x                         .  HD:   Chia trư  ng h  p theo đi  u ki  n xác đ  nh.  Lưu ý:   Thư  ng thư  ng câu 9 đi  m trong đ    thi PTTH Qu  c gia là câu gi  i phương trình, b  t phương trình hay h    phương  trình. Theo ý ki  n cá nhân c  a tôi thì phương trình   l   n t  ng cho các d  ng còn l  i, b  t phương trình k    th  a phương trình  nhưng mang màu s  c c  a xét d  u là ch    y  u còn l  i là các phép bi  n đ  i. H    phương trình là dung hòa c  a hai (nhi  u)  phương trình. Nói chung cái khó c  a các bài toán này n  m      kinh ngh i  m gi  i c  a các b  n và do ý đ    k  t h  p các phương  pháp c  a tác gi  ! Các ví d    trên đây là các d  ng thư  ng g  p c  a “bài toán 9 đi  m” trong bài thi PTTH Qu  c gia. Cùng xem  m  t s    câu tham kh  o nhé!  Bài 1.   Gi  i phương trình:           2   2  7   1   13   2   2   1 x   x   x   x   x   x   x                      .  Hư  n g d  n    u ki  n: 13   3 17 1   4  x          .  Phương trình đã cho tương trương v  i:   1   2   1 7   1   13   2   1 x   x   x x   x   x                                        t 2 1   1   2 t   x   t   x   x x                    , t    (1) suy ra   t   > 0 .  Phương trình (1) tr    thành:                               2   2 2   2   2 2   2   2 2   2 2 2   2  7   2   1   13   2   2 5   9   2   1   2   5 8   2   5   5   20 9   2   1   2   5 2   5 4   0 9   2   1   2   5  t   t   t t   t   t   t t   t   t t   t   t t   t   t   t                                                                                           Vì 2   2  2   5   0 9   2   1   2   5 t   t   t                  và   t   > 0   nên   t   = 2.  Suy ra: 1   2   2   1   0   1   2   3   2   2 x   x   x   x   x x                                      .  So sánh v  i đi  u ki  n đ    bài, k  t lu  n: 3   2   2 x         .

Tuyển chọn một số bài toán PT – BPT – HPT hay – Lương Anh Nhật

Trung Tâm Luyện Thi Đạ i Học Amsterdam  Chương IV - Bài 1.   Bất Đẳng Thức  1  Lớp Toán Thầy - Diệp Tuân  Tel: 0935.660.880  4   B  T Đ  NG TH  C    B  T PHƯƠNG TRÌNH  A  L Ý   THUY    T  1.     nh nghĩa:   Cho , a b   là hai s    th  c.  Các m  nh đ  "   ", "   ", "   ", "   " a   b   a   b   a   b   a   b               c g  i là nh  ng  b  t đ  ng th  c .  Chứng minh bất đẳng thức là chứng minh bất      (mệnh đề đúng)  Với , A B   là mệnh đề chứa biến thì "   " A   B    là mệnh đề chứa biến.  Chứng minh bất đẳng thức A   B    (với điều kiện nào đó) nghĩa là chứng minh mệnh đề chứa  biến "   " A   B       A   B    mà không nêu điều kiện đối với các biến thì ta hiểu rằng bất đẳng thức đó  xảy ra với mọi giá trị của biến là số   thực.  2 . Tính ch  t :  Tính ch  t   Tên g  i    u ki  n   N  i dung a   b   và b   c    thì a   c    Tính ch  t b  c c  u a   b   a   c   b   c               C  ng hai v    c  a b  t đ  ng th  c v  i m  t s  0 c    a   b   ac   bc         Nhân hai v    c  a b  t đ  ng th  c v  i m  t s  0 c    a   b   ac   bc        a   b   và c   d  a   c   b   d             C  ng hai b  t đ  ng   th  c cùng chi  u 0,   0 a   c     a   b   và c   d  ac   bd       Nhân hai b  t đ  ng th  c cùng chi  u n      2   1   2   1 n   n  a   b   a   b              Nâng hai v    c  a b  t đ  ng th  c lên m  t   lũy  th  a n      và 0 a    2   2 n   n  a   b   a   b        0 a    a   b   a   b         Khai căn hai v    c  a m  t b  t đ  ng th  c 3   3  a   b   a   b         2.1 . Ví d    minh h  a :   Ví dụ 1 .   Cho các số thực ,   , a b c   là số thực.   Chứng minh rằng:  a). a   b   c   ab   bc   ca                b). 2   2   1 a   b   ab   a   b               c). 2   2   2   3   2(   ) a   b   c   a   b   c                   d). 2   2   2   2(   ) a   b   c   ab   bc   ca               L  i gi  i  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ...............  ................................ ................................ ................................ ...............  ................................ ................................ ................................ ...............  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ...............  ................................ ................................ ................................ ...............  ................................ ................................ ................................ ...............  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ...............  ................................ ................................ ................................ ...............  ................................ ................................ ................................ ...............  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .......... ................................ ................................ ................................ ...............   B À   I 1 .   B  T     NG TH  CTrung Tâm Luyện Thi Đạ i Học Amsterdam  Chương IV - Bài 1.   Bất Đẳng Thức  2  Lớp Toán Thầy - Diệp Tuân  Tel: 0935.660.880  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ...............  ................................ ................................ ................................ ...............  3 . B  t đ  ng th  c v    giá tr    tuy  t đ  i.  3.1 .   Ví d    minh h  a :   Ví dụ 2 .   Tìm giá trị nhỏ nhất cảu các biểu thức sau  a). 2   5 A   x   x             .   b). 3   1   1   3 B   x   x   x   x                         .  L  i gi  i  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ...............  ................................ ................................ ................................ ...............  ................................ ................................ ................................ ...............  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ...............  ................................ ................................ ................................ ...............  ................................ ................................ ................................ ...............   Ví dụ   3 .   Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số           2 1   1   2 1   1 y   x   x   x   x                         .  L  i   gi  i  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ...............  ................................ ................................ ................................ ...............  ................................ ................................ ................................ ...............  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ...............  ................................ ................................ ................................ ...............  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ..........  ................................ ................................ ................................ ...............  ................................ ................................ ................................ ...............  4 . B  t đ  ng th  c gi  a trung bình c  ng và trung bình nhân (B  t đ  ng th  c Cauchy)  a) .     i v  i hai s    không âm  Cho 0,   0 a   b       , ta có 2  a   b   ab       D  u '   '    x  y ra khi và ch    khi a   b   H    qu    :  Hai số dương có tổng không đổi thì tích lớn nhất khi hai số đó bằng nhau tức là  Hai số dương có tích không đổi thì tổng nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau     Nội dung  Với mọi số thực x   . x   x   x   x   x 0,   ,        0 a    x   a   a   x   a           x   a x   a   x   a              a   b   a   b   a   b              2  2  a   b ab                2 a   b   ab    

Bài tập bất đẳng thức và bất phương trình – Diệp Tuân

1 Số 539 (5-2022)    bất phương trình (BPT). Đây là dạng toán đòi hỏi  kỹ năng tính toán phải tốt. Hơn nữa, nếu chúng ta  không nắm vững một số kỹ thuật thì khi giải ta sẽ  làm cho bài toán phức tạp thêm. Trong bài viết này  chúng tôi xin giới thiệu đến các em một chuyên đề  nhỏ này về cách giải một số bất phương trình.  1. Kỹ thuật đặt ẩn phụ  Bài 1.   Giải bất phương trình:  8  (   4)   2   2(3   4)   (1).              x   x   x  x   x  Lời giải .      2.  x     2   2   2  1   (   4 )   2   8   (3   4 )   2                 x   x   x   x   x   x   x   .     2   2   ;   2        a   x   x b   x   . Suy ra:  2   2   2   2   2   2  4   3   ; 3   4   3   .                 x   x   a   b   x   x   a   b  BPT trên trở thành:  2   2   2   2  (   3   )   8   (3   )           a   b   a   a   b   b      3   2  8   2   2   2   2                             b   a   b   a   x   x   x  2   2  2   2   4   4   2                 x   x   x   x   x      2   2  2   4   2   0              x   x   x   (luôn đúng).  Vậy bất phương trình có tập nghiệm là:      2;     S   .  Bài 2.   Giải bất phương trình :      3   2   2  3   5   2   3   2   1   2 .                    x   x   x   x   x   x  Lời giải .      1   .  2   x                     3   2  1   1   1   2   3   2   1   2                       x   x   x   x   x     1;   1   2           a   x   b   x   . Suy ra:  0;   0     a   b   và   2   2  3   2   .           x   x   a   a  BPT trên trở thành:                  3   2   2   3   2   2   0                       a   b   a   a b   a   a b   ab   b            2   0              a   a   b   b a   b          2   0           a   b   a   b   (luôn đúng).  Vậy BPT (1) có tập nghiệm là:   1  ;   2                     S   .  Bài 3.   Giải bất phương trình :      3  1   1   2   3   1   0 (1).              x   x   x  Lời giải .      1.  x     1;   2 .        a   x   b   x   Suy ra:  0;   2     a   b   và  2   2  2   1.  2       b   a  BPT trên trở thành:             2 2   2  3   3 2  1   3   0   3   0  2                                     b   a  a b   a   a b   a  2 2   3  1   2   4   1   3   0 (2).                                                                a   a   a  b   b   b     .    a  t   b      0.  t   BPT(2) trở thành:             2   3 2  1   2   4   1   3   0           t   t   t      2  (2   1)   52   28   6   1   0  1  2   1   0   .  2                                         t   t   t   t  t   t  Với   1   2   1   2   4   4   2   2.  2                           t   x   x   x   x   x  Vậy BPT(1) có tập nghiệm là:       2;   .     S  Bài 4.   Giải bất phương trình :            2   1   4   2   1   4   16.                 x   x   x   x2   Số 539 (5-2022)  Lời giải .      4.  x   BPT tương đương với:            2   4   4   4   4   16.                       x   x   x   x   x     8  4   4   0   4   4                             t   x   x   x   x   t             2   2  2  2  4   4   4   4   4  64   .                                 x   x   x   x   x  t  t  Do đó BPT trên trở thành:  2   4  2  1   64   8   16   32   48   0  2                                    t   t   t   t  t   t             2   2  2   2   8   0   2.                              t   t   t  Với   2  t   , ta có:  2  4   4   2   16   2   5.                             x   x   x   x   x  Vậy BPT có tập nghiệm       5 .  S  Bài 5.   Giải bất phương trình :            3  4   2   3   2   3   2   3   2   3   .                    x   x   x   x   x  Lời giải .      3   .  2   x     6  2   3   2   3   0   2   3   2   3                             t   x   x   x   x   t             2   2  8   2   3   2   3   2   3   2   3                          x   x   x   x   x  2  2  36   .     t   t  Do đó BPT trên trở thành:          2   3   6   4  2  2   4   2  1   36   6   3   108   0  2  6   3   18   0   6.                                                     t   t   t   t  t   t  t   t   t   t  Với   6   2   3   2   3   6                 t   x   x  2  4   9   2   3   0 (*).              x   x  Do đó BPT(*) luôn đúng   3   .  2      x  Vậy BPT có tập nghiệm   3   ;   .  2                     S  2. Kỹ thuật ẩn phụ không hoàn toàn  Bài 6.   Giải bất phương trình :            2  2  6   2   1   2   2  2   6 (1).                              x   x   x   x   x  x   x  Lời giải .      1  x   .     2   1           t   x   x   . Điều kiện:   0.  t   Suy ra:  2   2  2   1   2   2              t   x   x   x  2   2  2   2   2   1.                 x   x   t   x  BPT(1) trở thành:             2   2  6   2   3   5   0                 t   x   t   x   x          1   2   5   0                 t   x   t   x  1   0           t   x   (vì   2   5   0   1              t   x   x   ).  Với   1   0   2   1   1                          t   x   x   x   x      2   1   1                 x   x   x                        2  3 2  2   1   2   1   1   1  1   2   1   3   0  1   1   2.                                                           x   x   x   x   x  x   x  x   x    BPT là:       1; 2  S   .  Bài 7.   Giải bất phương trình :        2   2  2   1   1   1   2   4   1 (1).                       x   x   x   x   x  Lời giải.      1   1.     x     1   1   .           t   x   x      0  t  2  2   2   2   2  2   2 1   1   .  2                         t  t   x   x  BPT(1) trở thành:  2  2   2   2 2  2   2   4   1   4   4   8  2                           t  t   x   x   t   t   x   x                2   2  4   4   8   2   2   4   2   0                             t   t   x   x   t   x   t   x   t   x          2   2   4   0              t   x   t   x  2   0        t   x   (vì   2   4   0,   1              t   x   x   ).  Với   2   1   1   2   (2).                 t   x   x   x   x  TH1:   1   0     x   (thỏa bất phương trình (2)).  TH2:   0   1     x   .  2  2   2   2  4   2  2   1   0  (2)   1   2   1   2   1   0  4   3   0                                                 x  x   x   x  x   x

Một số kỹ thuật giải bất phương trình

TR  NG THPT CHUYÊN LÝ T    TR  NG  7Ә   TOÁN      TIN H  C  Chuyên      www.toanmath.com  B B   T T      N NG G T TH H   C C  Th  c hi    n :   Võ Qu  c Bá C  n  +ӑ c sinh chuyên Toán, niên khóa   2004      2006  TPCT      2006  T  i thêm tài li  u môn Toán THPT t  i:  + Trang web:   www.toanmath.com  + Fanpage:   www.facebook.com/toanmath  + Groups:   https://www.facebook.com/groups/toanmath1  /ͥ i nói      u  ----oOo----  %ҩ t    ng th  c là m  t trong nh  ng v  n      hay và khó nh  t c  a ch  ng trình toán ph    thông b  i nó có m  t trên h  u kh  p các l  nh v  c c  a toán h  c và nó      i chúng ta ph  i có m  t v  n ki  n th  c t  ng    i v  ng vàng trên t  t c    các l  nh v  c.  0ӛ i ng  i chúng ta,    c bi  t là các b  n yêu toán, dù ít dù nhi  u thì c NJ ng      ng   au    u tr  c m  t b  t    ng th  c khó và c NJ ng      ng có    c m  t c  m giác t    hào khi mà mình ch  ng minh    c b  t    ng th  c      m “kích ho  t” ni  m say mê  Eҩ t    ng th  c trong các b  n, tôi xin gi  i thi  u v  i v  i các b  n cu  n sách “chuyên    Eҩ t    ng th  c”. Sách g  m các ph  ng pháp ch  ng minh b  t    ng th  c m  i mà hi  n nay ch  a    c ph    bi  n cho l  m. Ngoài ra, trong sách g  m m  t s    l  ng l  n b  t    ng th  c do tôi  Wӵ   sáng tác, còn l  i là do tôi l  y      toán trên internet nh  ng ch  a có l  i gi  i ho  c có  Oӡ i gi  i nh  ng là l  i gi  i hay, l  ,    p m  t. Ph  n l  n các bài t  p trong sách    u do tôi  Wӵ   gi  i nên không th    nào tránh kh  i nh  ng ng    nh  n, sai l  m, mong các b  n thông  Fҧ m. Hy v  ng r  ng cu  n sách s    giúp cho các b  n m  t cái nhìn khác v    b  t    ng th  c và mong r  ng qua vi  c gi  i các bài toán trong sách s    giúp các b  n có th    tìm ra ph  ng pháp c  a riêng mình, nâng cao    c t    duy sáng t  o. Tôi không bi  t các  Eҥ n ngh    sao nh  ng theo quan    m c  a b  n thân tôi thì n  u ta h  c t  t v    b  t    ng th  c thì c NJ ng có th    h  c t  t các l  nh v  c khác c  a toán h  c vì nh        trên b  t   ng th  c      i chúng ta ph  i có m  t ki  n th  c t  ng h  p t  ng    i v  ng vàng. Tôi không nói suông      c h  n b  n c NJ ng bi  t    n anh Ph  m Kim Hùng, sinh viên h    CNTN khoa toán, tr  ng    HKHTN,    HQG Hà N  i, ng  i        c tham  Gӵ   hai k    thi IMO và    u    t k  t qu    cao nh  t trong    i tuy  n VN. B  n bi  t không? Trong th  i h  c ph    thông, anh    y ch    chuyên tâm rèn luy  n   b  t    ng th  c thôi. (Các b  n l  u ý là tôi không khuy  n khích b  n làm nh    tôi và anh    y    

Chuyên đề bất đẳng thức – Võ Quốc Bá Cẩn

TÀI LIỆU TOÁN PHỔ THÔNG TÀI LIỆU TOÁN PHỔ THÔNG  CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC  DÒNG TÂM SỰ  Giọt nước bên thềm khẽ lặng thầm rơi đều đều và nhanh dần theo những giai điệu vu vi phát ra từ cây đàn ghi-ta đã cũ, những nốt nhạc du dương như hòa vào tâm sự của người đang chìm vào nỗi cô đơn khi nhớ về một ngày đã xa.... Tháng 9, mùa khai trường của bao cô cậu học trò sau những tháng hè rộn rã, vui tươi. Đứa thì gặp bạn cũ miệng cứ ríu ra ríu rít những câu chuyện trong những tháng ngày không gặp, đứa thì gặp lại thầy cô tay bắt mặt mừng như vừa tìm thấy thứ gì đó thân quen sau bao ngày xa cách. Có những cô cậu lại khăn gói chuẩn bị hành trang, xa con đường làng quen thuộc vẫn thường đạp xe cùng nhau đi học, xa cái thôn quê nơi chứa đầy kỉ niệm để bắt đắt đầu hành trình mới chinh phục ước mơ và hoài bão. Lớp học trò ra đi, lại có lớp học trò mới lại vào, những nhịp cầu cứ nối tiếp nhau cho bến bờ tri thức. Chỉ còn đọng lại nơi đây, một tình yêu nồng ấm, một sự gắn kết vô hình trong cuộc sống này đây.  Tôi bắt đầu học Toán từ thở nhỏ, lúc í a đếm   1 ,   2 . Quyển sổ tôi ghi về những gì tôi học, cứ mỗi ngày lại thêm dầy hơn, mỗi một trang là một chặng đường, là hành trình tôi đi tìm tình yêu đích thực của đời mình. Nếu hỏi tôi "Vì sao tôi còn yêu Toán thế ?", tôi cũng chỉ biết rằng đó cứ như thói quen sau những giờ cẳng thẳng, là sự "mua vui" tưởng thưởng cho bản thân mình một góc tối bình yên.  Từ những gì còn đọng lại sau những tháng ngày học tập trên ghế nhà trường, tôi đã cố gắng chọn lọc và tổng hợp lại những bài toán, những cách chứng minh đặc sắc nhất để hoàn thành chuyên đề  TUYỂN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC LUYỆN THI ĐẠI HỌC  Bài viết này, tác giả đã chọn lọc những bài toán trong các kì thi thử đại học từ các trường THPT, các diễn đàn online và các trung tâm dạy thêm chất lượng để biên soạn lại thành một chuyên đề dành cho những người đam mê bất đẳng thức nói chung và các bạn ôn thi  www.k2pi.net như là một hồi ức đẹp sau hơn một năm dài gắn bó cùng các anh, các chị, dù không gặp nhau nhưng chúng ta luôn có sự gắn kết vô hình lại, bởi lẽ, chúng ta đã lỡ yêu toán mất rồi!  Bài   viết      tác   giả   viết   vội   trong   những   ngày   hè      hoàn   thành   kịp mừng   sinh   nhật   lần   thứ   nhất   của   diễn      www.k2pi.net   nên   chắc   hẳn còn nhiều sai xót, mong nhận được sự góp ý của bạn đọc gần xa qua địa chỉ:ngohoangtoan1994@gmail.com hoặc www.k2pi.net.TUYỂN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC  Ngô Hoàng Toàn  Trường Đại học Y Dược Cần Thơ  Mục lục  1   Một số bất đẳng thức cơ bản   3  1.1   Bất đẳng thức AM-GM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   3 1.2   Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   3 1.3   Bất đẳng thức Minkowski   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   4  2   Bất đẳng thức qua các kì thi đại học 2007-2013   5 3   Tuyển tập bất đẳng thức   15  3.1   Bất đẳng thức trong kì thi thử các trường   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   15 3.2   Bất đẳng thức trong đề thi thử các diễn đàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   49 3.3   Bất đẳng thức trong đề thi thử các trung tâm   . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   73 3.4   Bất đẳng thức trong Thử sức trước kì thi THTT   . . . . . . . . . . . . . . . . .   82  4   Bất đẳng thức luyện thi 2014   85 5   BÀI TẬP   139 6   Phụ lục   149  6.1   Lời giải và nhận xét câu cực trị đề thi đại học khối A 2013 . . . . . . . . . . . . 149 6.2   Một số kí hiệu dùng trong tuyển tập   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 2

Chuyên đề bất đẳng thức – Ngô Hoàng Toàn

Chương 4 BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH 1. BẤT ĐẲNG THỨC I. Tóm tắt lí thuyết 1. Các khái niệm Khái niệm (Bất đẳng thức). Cho hai số thực a , b . Các mệnh đề “ a > b a b c > d Các bất đẳng thức “ a > b c < d Khái niệm (Bất đẳng thức hệ quả). Nếu mệnh đề “ a > b c > d c > d là bất đẳng thức hệ quả của bất đẳng thức “ a > b a > b c > d . Khái niệm (Bất đẳng thức tương đương). Nếu bất đẳng thức “ a > b c > d và ngược lại thì ta nói hai bất đẳng thức tương đương với nhau và viết a > b c > d . 2. Tính chất Tính chất Tên gọi Nội dung a 0 a bc a 0 , c > 0 a 0 a 0 a < b a < b Khai căn hai vế của một bất a < b 3 a < 3 b 245246 CHƯƠNG 4. BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH II. Các dạng toán Dạng 1. Sử dụng phép biến đổi tương đương + Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với một bất đẳng thức đã biết. + Sử dụng một bất đẳng thức đã biết, biến đổi để dẫn đến bất đẳng thức cần chứng minh. Một số bất đẳng thức thông dụng: + a 2 0 ; + a 2 + b 2 0 ; + a b 0 , với a , b 0 ; + a 2 + b 2 2 ab . Ví dụ 1. Chứng minh 1 x + x + 2 6 , x [ 2; 1 ] . Lời giải. Với x [ 2; 1 ] , ta có 1 x + x + 2 6 3 + 2 ( 1 x )( x + 2 ) 6 4 ( 1 x )( x + 2 ) 9 ( 2 x + 1 ) 2 0 . Bất đẳng thức cuối luôn đúng. Vậy, bài toán được chứng minh. Ví dụ 2. Chứng minh a 2 + b 2 + 2 2 ( a + b ) , với mọi số thực a , b . Lời giải. Với mọi số thực a , b ta luôn có ( a 1 ) 2 + ( b 1 ) 2 0 a 2 + b 2 + 2 2 ( a + b ) . Bài toán đã được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1 . Ví dụ 3. Cho các số thực x , y , z . Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) x 2 + y 2 + z 2 xy + yz + zx ; b) x 2 + y 2 + 1 xy + x + y . Lời giải. a) Bất đẳng thức tương đương với 2 x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 2 xy + 2 yz + 2 zx ( x y ) 2 + ( y z ) 2 + ( z x ) 2 0 . Bất đẳng thức cuối hiển nhiên đúng. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z . Phép chứng minh hoàn tất. b) Ta có x 2 + y 2 + 1 xy + x + y 2 x 2 + 2 y 2 + 2 2 xy 2 x 2 y 0 ( x y ) 2 + ( x 1 ) 2 + ( y 1 ) 2 0 . x = y = 1 . Bài toán đã được chứng minh.

Lý thuyết, các dạng toán và bài tập bất đẳng thức và bất phương trình

T T I I L L I I U U T T H H A A M M K K H H O O T T O O N N H H C C P P H H T T H H N N G G _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 2 0, ax bx c x - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - C C H H U U Y Y N N B B T T P P H H N N G G T T R R N N H H V V H H B B T T P P H H N N G G T T R R N N H H C C H H A A T T H H A A M M S S H T H N G B I T P T R C N G H I M B P T , H B P T L P 1 0 T H P T B B T T P P H H N N G G T T R R N N H H + + H H B B T T P P H H N N G G T T R R N N H H B B C C N N H H T T ( ( C C B B N N ) ) B B T T P P H H N N G G T T R R N N H H + + H H B B T T P P H H N N G G T T R R N N H H B B C C H H A A I I ( ( C C B B N N ) ) D D U U T T A A M M T T H H C C B B C C H H A A I I ( ( C C B B N N ) ) B B T T P P H H N N G G T T R R N N H H + + H H B B T T P P H H N N G G T T R R N N H H ( ( V V N N D D N N G G C C A A O O ) ) T T H H N N T T N N G G T T O O N N T T H H Q Q U U T T H H Y Y C C V V C C C C E E M M H H C C S S I I N N H H T T R R N N T T O O N N Q Q U U C C C C R R E E A A T T E E D D B B Y Y G G I I A A N N G G S S N N ( ( F F A A C C E E B B O O O O K K ) ) ; ; G G A A C C M M A A 1 1 4 4 3 3 1 1 9 9 8 8 8 8 @ @ G G M M A A I I L L . . C C O O M M ( ( G G M M A A I I L L ) ) T T H H N N H H P P H H T T H H I I B B N N H H T T H H N N G G 0 0 1 1 / / 2 2 0 0 1 1 9 9 (LỚP BÀI TOÁN CƠ BẢN MỨC ĐỘ 1) ________________________________________ Câu 1. Tìm điều kiện tham số m để bất phương trình 2 3 4 3 x m mx m nghiệm đúng với mọi số thực x. A. m = 4 B. m = 3 C. m = 2 D. m = 1 Câu 2. Tìm điều kiện tham số m để hệ bất phương trình 3( 6) 3 5 7 2 x x m có nghiệm. A. m > – 11 B. m < 11 C. m < – 11 D. 11 m Câu 3. Tìm giá trị tham số m để 2 2 2 5 6 2 3 m m x m m x m với mọi giá trị x. A. m = 4 B. m = 3 C. m = 2 D. m = 1 Câu 4. Tìm điều kiện tham số m để hệ bất phương trình 3 2 0, 2 0. x mx m có nghiệm. A. Mọi giá trị m B. Không tồn tại C. m 0 D. m < 1 Câu 5. Tìm điều kiện tham số m để bất phương trình 2 2 1 5 1 0 x m m m có tập nghiệm S = R. A. m < 2 B. m = – 4 C. m > 1 D. m > 1,5 Câu 6. Tìm điều kiện tham số m để hệ bất phương trình 3 2 0, 3 4 0. m x m x có nghiệm. A. Mọi giá trị m B. Không tồn tại C. m > – 3 D. m Câu 7. Tìm điều kiện tham số m để bất phương trình 2 3 20 4 47 0 m m x m m có tập nghiệm R. A. m = 4 B. m = – 4 C. m = 2 D. m = 1,5 Câu 8. Có bao nhiêu số nguyên dương m để hệ bất phương trình 2 1 2 3 3 5 x x m có nghiệm ? A. 5 B. 4 C. 2 D. 1 Câu 9. Tìm điều kiện tham số m để bất phương trình 3 9 10 4 0 m m x m có tập nghiệm S = R. A. m = 4 B. m = – 4 C. m = 1 D. m = 1,5 Câu 10. Tìm điều kiện tham số m để hệ bất phương trình 3 5 0, 2 3 . x mx m có độ dài tập nghiệm bằng 2. A. m = 1 B. m = 9 25 C. m – 2 D. m = 7 26 Câu 11. Tìm điều kiện tham số m để bất phương trình 3 2 3 4 2 2 0 m m x m m vô nghiệm. A. m = 4 B. m = 1 C. m = 2 D. m = 1,5 Câu 12. Tìm m để hệ bất phương trình 3 2 4 2( 1) 5 x m x có tập nghiệm S = (a;b) thỏa mãn b – a = 2. A. m = 5,5 B. m = 5 C. m = 8,5 D. m = 2,5 Câu 13. Tìm điều kiện tham số m để bất phương trình 2 2 4 2 1 1 3 4 4 m m x m x m vô nghiệm. A. m = 2 B. m = 1 C. m = 0 D. m = 1,5 Câu 14. Tìm điều kiện tham số m để 1 1 0, m x m x .

Hệ thống bài tập trắc nghiệm bất phương trình – hệ bất phương trình chứa tham số

M  C L  C  Trang  PH  N 1 – PH  NG TRÌNH VÀ B  T PH  NG TRÌNH   --------------------------------------- 1 A – Ph  ng trình & B  t ph  ng trình c    b  n --------------------------------------------- 1 I – Ki  n th  c c    b  n -------------------------------------------------------------------- 1 II – Các thí d    --------------------------------------------------------------------------- 2 Bài t  p t  ng t    ---------------------------------------------------------------- 12 B –    a v    tích s    (bi  n    i    ng th  c, liên h  p) ----------------------------------------- 23 I – Ki  n th  c c    b  n -------------------------------------------------------------------- 23 II – Các thí d    --------------------------------------------------------------------------- 24 S    bi  n    i    ng th  c ------------------------------------------------------------- 24 Bài t  p t  ng t    ---------------------------------------------------------------- 31 T  ng hai s    không âm ------------------------------------------------------------- 33 Bài t  p t  ng t    ---------------------------------------------------------------- 34 Nhân liên h  p ---------------------------------------------------------------------- 35 Bài t  p t  ng t    ---------------------------------------------------------------- 47   t    n s    ph    không hoàn toàn -------------------------------------------------- 56 Bài t  p t  ng t    ---------------------------------------------------------------- 57 C –    t    n s    ph    ------------------------------------------------------------------------------ 59 I – Ki  n th  c c    b  n -------------------------------------------------------------------- 59 II – Các thí d    --------------------------------------------------------------------------- 60   t m  t    n ph    --------------------------------------------------------------------- 60   t hai    n ph    ---------------------------------------------------------------------- 70 Bài t  p t  ng t    ---------------------------------------------------------------- 77 D – S    d  ng b  t    ng th  c và hình h  c ----------------------------------------------------- 91 I – Ki  n th  c c    b  n -------------------------------------------------------------------- 91 II – Các thí d    --------------------------------------------------------------------------- 93 Bài t  p t  ng t    ---------------------------------------------------------------- 101 E – L  ng giác hóa ---------------------------------------------------------------------------- 105 I – Ki  n th  c c    b  n -------------------------------------------------------------------- 105 II – Các thí d    --------------------------------------------------------------------------- 106 Bài t  p t  ng t    ---------------------------------------------------------------- 114 F – S    d  ng tính    n    i  u c  a hàm s    ------------------------------------------------------ 118 I – Ki  n th  c c    b  n -------------------------------------------------------------------- 118 II – Các thí d    --------------------------------------------------------------------------- 119 Bài t  p t  ng t    ---------------------------------------------------------------- 127 G – Bài toán ch  a tham s    -------------------------------------------------------------------- 131 I – Ki  n th  c c    b  n -------------------------------------------------------------------- 131 II – Các thí d    --------------------------------------------------------------------------- 133Bài t  p t  ng t    ---------------------------------------------------------------- 142  PH  N 2 – H    PH  NG TRÌNH   ----------------------------------------------------------------------- 149 A – H    ph  ng trình c    b  n ------------------------------------------------------------------ 149 I – Ki  n th  c c    b  n -------------------------------------------------------------------- 149 II – Các thí d    ---------------------------------------------------------------------------- 151 Bài t  p t  ng t    ---------------------------------------------------------------- 166 B – Bi  n    i 1 ph  ng trình thành tích s    và k  t h  p ph  ng trình còn l  i ----------- 176 I – Ki  n th  c c    b  n -------------------------------------------------------------------- 176 II – Các thí d    ---------------------------------------------------------------------------- 176 Bài t  p t  ng t    ---------------------------------------------------------------- 181 C –    t    n ph     a v    h    c    b  n ------------------------------------------------------------- 185 Các thí d    --------------------------------------------------------------------------- 185 Bài t  p t  ng t    ---------------------------------------------------------------- 191 D – Dùng b  t    ng th  c ----------------------------------------------------------------------- 203 Các thí d    --------------------------------------------------------------------------- 203 Bài t  p t  ng t    ---------------------------------------------------------------- 205 E – L  ng giác hóa và S    ph  c hóa --------------------------------------------------------- 208 Các thí d    --------------------------------------------------------------------------- 208 Bài t  p t  ng t    ---------------------------------------------------------------- 213 F – S    d  ng tính    n    i  u c  a hàm s    ------------------------------------------------------ 217 Các thí d    --------------------------------------------------------------------------- 217 Bài t  p t  ng t    ---------------------------------------------------------------- 222 G – Bài toán ch  a tham s    trong h    ph  ng trình ----------------------------------------- 227 Các thí d    --------------------------------------------------------------------------- 227 Bài t  p t  ng t    ---------------------------------------------------------------- 239 Tài li  u tham kh  o ----------------------------------------------------------------------------- 248

Chuyên đề phương trình, bất phương trình và hệ phương trình đại số

Ví dụ 1: Giải bất phương trình x 1 + x 3 2( x 3) 2 + 2 x 2 Giải : Với x 1 xét các vectơ ~ u = ( x 1 , x 3) và ~ e = (1 , 1) ta có | ~ u | = x 1 + ( x 3) 2 và | ~ e | = 2 . Theo (II’) ta được : ( x 1 , x 3)(1 , 1) x 1 + ( x 3) 2 . 2 x 1 + x 3 2 x 2 + 2( x 3) 2 theo (IV) ta được: { x 1 = x 3 = x 1 = x 3 x = 5 Ví dụ 2 : Giải bất phương trình x + 1 + 2 x 3 + 50 3 x 12 (2) Giải : Tập xác định của vế trái là 3 2 x 50 3 . Xét các vectơ ~ u = ( x + 1 , 2 x 3 , 50 3 x ) và ~ v = (1 , 1 , 1) , ta có | ~ u | = 48 = 4 3 và | ~ v | = 3 . Theo (II’) bất phương trình (2) trở thành : ( x + 1 , 2 x 3 , 50 3 x )(1 , 1 , 1) 4 3 . 3 x + 1 + 2 x 3 + 50 3 x 12 Vậy nghiệm của bpt (2) là 3 2 x 50 3 . Ví dụ 3 : Giải phương trình sin x + 2 sin x 2 + sin x 2 sin x 2 = 3 (3) Giải : Xét các vectơ u = (sin x, 1 , 2 sin x 2 ) và v = (1 , 2 sin x 2 , sin x ) . Ta có |− u | = |− v | = 3 1 u | . |− v | = 3 Theo (III’) ta có |− u . v | = |− u | . |− v | và từ (IV) ta có hệ : sin x = 1 = 2 sin x 2 2 sin x 2 = sin x = 1 và sin x = 1 x = 2 + 2 kπ ( k Z) Ví dụ 4 : Chứng minh rằng hệ sau đây vô nghiệm. { x 4 + y 4 + z 4 = 1 x 2 + y 2 + 2 z 2 = 7 . Giải : Xét các vectơ ~ u = ( x 2 , y 2 , z 2 ) và ~ v = (1 , 1 , 2) , Ta có : | ~ u | = x 4 + y 4 + z 4 = 1 , | ~ v | = 1 2 + 1 2 + 2 2 = 6 . Theo hệ trên, ta có ~ u.~ v = x 2 + y 2 + 2 z 2 = 7 và | ~ u | . | ~ v | = 6 Do đó ~ u.~ v = ( x 2 , y 2 , z 2 )(1 , 1 , 2) = x 2 + y 2 + 2 z 2 > 6 = | ~ u | . | ~ v | Vậy hệ trên vô nghiệm. Qua các ví dụ trên rõ ràng ta thấy sự phong phú, tính hiệu quả, ngắn gọn của việc sư dụng tích vô hướng để giải một số bài toán thường gặp. Sau đây là một số đề toán để luyện tập : Bài 5 : Giải phương trình : x x + 1 + 3 x = 2 x 2 + 1 . Giải : 1 x 3 . u = ( x, 1) , v = ( x + 1 , 3 x ) . Khi đó u . v = x x + 1 + 3 x ; |− u | . |− v | = x 2 + 1 . ( x + 1) 2 + ( 3 x ) 2 = 2 x 2 + 1 . Do đó u . v = |− u | . |− v | ⇒ − u , v cộng tuyến x 1 = x + 1 3 x ( DK : 0 < x 3) 2

Giải phương trình – bất phương trình bằng phương pháp Vector

 (Trung taâm Nghieân cöùu vaø phaùt trieån saûn phaåm giaùo duïc Newstudy.vn)  SOAÏN THEO CAÁU TRUÙC MÔÙI AÙP DUÏNG KÌ THI THPT QUOÁC GIA (PHIEÂN BAÛN MÔÙI NHAÁT)  Daønh cho hoïc sinh 10, 11, 12 naâng cao kieán thöùc. Boài döôõng hoïc sinh gioûi luyeän thi Quoác Gia.  NHAØ XUAÁT BAÛN ÑAÏI HOÏC QUOÁC GIA HAØ NOÄIMUÏC LUÏC  Chöông 1: Baát ñaúng thöùc vaø caùc kyõ thuaät cô baûn Chuû ñeà 1.   Kyõ thuaät bieán ñoåi töông ñöông .............................................. 04  Chuû ñeà 2.   Kyõ thuaät minh phaûn chöùng .................................................... 45  Chuû ñeà 3.   Kyõ thuaät quy naïp toaùn hoïc ..................................................... 56  Chuû ñeà 4.   Kyõ thuaät mieàn giaù trò ............................................................. 60  Chuû ñeà 5.   Kyõ thuaät söû duïng nguyeân lí Diricle ....................................... 68  Chuû ñeà 6.   Kyõ thuaät tam thöùc baäc hai ..................................................... 73  Chuû ñeà 7.   Kyõ thuaät ñaùnh giaù baát ñaúng thöùc tích phaân ......................... 93  Chöông 2: Baát ñaúng thöùc vaø phöông phaùp tieáp caän Chuû ñeà 1.   Caùc kyõ thuaät söû suïng baát ñaúng thöùc AM-GM cô baûn .......... 102  Chuû ñeà 2.   Kyõ thuaät gheùp caëp trong chöùng minh ñaúng thöùc AM-GM ............. 198  Chuû ñeà 3.   Kyõ thuaät söû duïng baát ñaúng thöùc AM-GM daïng coäng maãu soá ........211  Chuû ñeà 4.   Kyõ thuaät söû duïng baát ñaúng thöùc Cauchy-Schwarz .............. 218  Chuû ñeà 5.   Kyõ thuaät söû duïng baát ñaúng thöùc Cauchy-Schwarz daïng phaân thöùc ................................................................................ 243  Chuû ñeà 6.   Kyõ thuaät tham soá hoùa ........................................................... 278  Chuû ñeà 7.   Baát ñaúng thöùc Holder vaø öùng duïng ...................................... 291  Chuû ñeà 8.   Kyõ thuaät söû duïng baát ñaúng thöùc Chebyshev ....................... 304  Chuû ñeà 9.   Baát ñaúng thöùc Bernoulli vaø öùng duïng .................................. 314  Chöông 3: Phöông trình haøm soá trong giaûi toaùn baát ñaúng thöùc vaø cöïc trò Chuû ñeà 1.   Kyõ thuaät söû duïng tính ñôn ñieäu vôùi baøi toaùn cöïc trò vaø baát   Chuû ñeà 2.   Kyõ thuaät söû duïng tính ñôn ñieäu cho baøi toaùn cöïc trò vaø baát   Chuû ñeà 3.   Kyõ thuaät söû duïng tính ñôn ñieäu cho baøi toaùn cöïc trò vaø baát   Chuû ñeà 4.   Kyõ thuaät söû duïng tính thuaàn nhaát....................................... 427  Chuû ñeà 5.   Kyõ thuaät söû duïng baát ñaúng thöùc tieáp tuyeán ........................ 484  Chuû ñeà 6.   Kyõ thuaät khaûo saùt haøm nhieàu bieán...................................... 502  Chuû ñeà 7.   Kyõ thuaät söû duïng tính chaát cuûa nhò thöùc baäc nhaát vaø tam thöùc baäc hai .......................................................................... 534  Chuû ñeà 8.   Baát ñaúng thöùc phuï ñaâng chuù yù vaø aùp duïng giaûi ñeà thi tuyeån sinh .. 540  Chuû ñeà 9.   Baøi toaùn choïn loïc baát ñaúng thöùc vaø cöïc trò ba bieán ............ 617  Chöông 4: Soá phöông phaùp chöùng minh baát ñaúng thöùc khaùc Chuû ñeà 1.   Kyõ thuaät löôïng giaùc hoùa ....................................................... 654  Chuû ñeà 2.   Kyõ thuaät söû duïng baát ñaúng thöùc Schur ................................ 684  Chuû ñeà 3.   Kyõ thuaät doàn bieán ................................................................. 694

Phương pháp giải toán Min – Max và Bất đẳng thức – Đặng Thành Nam

Tuyệt kĩ bấm máy Casio giải phương trình – hệ phương trình – bất phương trình

TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016   CHUYÊN ĐỀ PT –   BPT      HPT  VÌ CỘNG ĐỒNG      THẦY TÀI –   0977.413.341   MINH CHÂU      YÊN   MỸ   -   HƯNG YÊN   Trang 1  H    - B  T - PH  NG TRÌNH TRONG CÁC      THI TH    N  M 2016  Bài 1:   Giải hệ phƣơng trình: 3   2 3   3   2   2  3   1   2   9   5 12   3   3   6   7  x   y   x   y   x x   y   x   y   y   x                                                .  Lần 2      THPT   ANH SƠN 2  Lời giải tham khảo     K iện   : 3 1  x y          Phương trình thứ 2 tương đương với 3   3  (   2)   (   1) x   y        1 y   x          (3)  Thay (3) v|o phương trình thứ nhất ta được: 3   2  3   2   2   5   3 x   x   x   x   x                      2   3 x         3   2   3   2  3   2   2   5   3   3   2   3   2   5   6 x   x   x   x   x   x   x   x   x   x                                               3   2 2(   (3   )(   2)   2)   2   5   6 3   2   3  x   x   x   x   x x   x                                2  2(   2)   (   1)(   2)(   3) (   3   2   3)(   (3   )(   2)   2)  x   x   x   x   x x   x   x   x                                         2 2 2(   2)   (   2)(   3) (   3   2   3)(   (3   )(   2)   2)  x   x   x   x   x x   x   x   x                                         2   2 (   2)(   (   3))   0 (   3   2   3)(   (3   )(   2)   2)  x   x   x x   x   x   x                                      Do điều kiện 2   3 x          nên 2   (   3)   0 (   3   2   3)(   (3   )(   2)   2)   x x   x   x   x                              Suy ra 2   2   0 x   x        1;   2 x   x          thoả mãn điều kiện.  Khi 1   0 x   y       TMĐK  Khi 2   3 x   y          TMĐK  Vậy hệ đã cho có hai nghiệm ( -1;0), (2;3)  Bài 2:   Giải phƣơng trình     3   2  2   1   6 x   x   x   x             .  Lần 1      THPT BẮC YÊN THÀNH  Lời giải tham khảo   0 x      . Nhận thấy (0; y) không l| nghiệm của hệ phương   trình. Xét 0 x      .  Từ phương trình thứ 2 ta có 2 2  1   1   1 2   2   4   1   1 y   y   y   x   x   x                 (1)Xét hàm s     2   1 f   t   t   t   t         có    2 2 2  '   1   1   0 1  t f   t   t   t                  nên h|m số đồng biến. Vậy          1   1 1   2   2 f   y   f   y x   x                          .  Xét h|m số    2   1 f   t   t   t   t          có    2 2 2  '   1   1   0 1  t f   t   t   t                  nên h|m số đồng biến. Vậy          1   1 1   2   2 f   y   f   y x   x                         .TÀI LIỆU LUYỆN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016   CHUYÊN ĐỀ PT –   BPT      HPT  VÌ CỘNG ĐỒNG      THẦY TÀI –   0977.413.341   MINH CHÂU      YÊN   MỸ   -   HƯNG YÊN   Trang 2  Thay v|o phương trình (1):     3   2  2   1   6 x   x   x   x            Vế tr{i của phương trình l| h|m đồng biến trên     0;      nên có nghiệm duy nhất 1 x     v| hệ phương trình có nghiệm 1 1; 2                .  Bài   3 :   Giải hệ phƣơng trình:      2   2  2x   3(   1)   2 , 2   2   9 2   9 3   2   3   4   5  y   x   xy   y x y x   y x   y   x                                                 .  Lần   1    THPT   BẢO THẮNG SỐ 3  Lời giải tham khảo   2   0 4 5  x   y x               Biến đổi phương trình thứ nhất của hệ ta có :        2   2  2x   3(   1)   2   1   2x   3   0   1 y   x   xy   y   x   y   y   y   x                                          Với 1 y   x       thay v|o phương trình thứ hai ta được phương trình sau : 2   2   9 10 3   1   3   4   5x   x x                                  2   10   6   1   4   5x   9 9   3   1   3   4   5x   1   4   5x x   x   x   x                                                1   4   5x   3   9   1   9   4   5x   4x   41   0 x   x                               ( Do 4 1; 5  x                  nên 9   1   9   4   5x   4x   41   0 x                     ) 1   4   5x   3   0 x                 1   4   5x   3   2   1.   4   5x   4   4x x   x                                   1   0   1 1.   4   5x   2   1   0   0 4   5x   2   1  x   x x   x   x x                                                       Với 0   1;   1   2 x   y   x   y                ( ;   )   (0; 1);( ;   )   ( 1; 2) x y   x y            Bài   4 :   Giải phƣơng trình: 2   3 3  2   2   1 1 2   1   3  x   x   x x x   .  Lần   1      THPT   BÌNH MINH  Lời giải tham khảo   1,   13 x   x  Pt 2 3   3  6   (   2)(   1   2) 1   2   1 2   1   3   2   1   3  x   x   x   x x   x   x                                           ( x=3 không l| nghiệm) 3  (2   1)   2   1   (   1)   1   1 x   x   x   x   x                           H|m số 3  ( ) f t   t   t          do đó phương trình 3   2   1   1 x   x          

164 bài toán hệ – bất – phương trình trong các đề thi thử Quốc gia 2016 – Trần Văn Tài

C  m nang ôn luy  n thi    i h  c Toán h  c – Nguy  n T  t Thu.  210      PH  NG TRÌNH B  C NH  T HAI    N  I.   TÓM T  T LÝ THUY  T  Là h    có d  ng:   ax   by   c  a x   b y   c  +   =         +   =   trong        th  c cho tr  c và a, b, a’, b’ không    ng th  i b  ng không.  Cách gi  i:   Dùng    nh th  c Crame Ta có các    nh th  c:   x   y  a   c a   b   c   b  D   ; D   ; D   a   c a   b   c   b  =   =   =                   . *   N  u   D   0    thì h    có nghi  m duy nh  t:   y x   D D x   ; y D   D  =   =   . *   N  u   x   y D   D   D   0 =   =   =   thì h    vô s    nghi  m:  x  c   ax y   (b   0) b           =         . *   N  u   x y  D   0  D   0  D   0  =               thì h       m.  II. CÁC VÍ D    MINH H  A  Ví d    4.1.1.   Cho h    ph  ng trình:   mx   y   m   2  4x   my   3m   2  +   =   +     +   =   +   1. Gi  i và bi  n lu  n h      2. Tìm m      h       m duy nh  t (x; y) sao cho   2   2  P   2x   y =   +   nh    nh  t.  L  i gi  i.  1. Ta có:   2 m   1  D   m   4   (m   2)(m   2)  4   m  =   =      =      +  2 x  m   2   1  D   m   m   2   (m   1)(m   2)  3m+2   m  + =   =         =   +     2 y  m   m   2  D   3m   2m   8   (m   2)(3m   4)  4   3m   2  + =   =         =      + +    D   0   m   2          h       m duy nh  t:  CHUYÊN ĐỀ - WWW.TOANMATH.COMCty TNHH MTV DVVH Khang Vi  t  211  x y  D   m   1  x   D   m   2 D   3m   4 y   D   m   2  +    =   =    +     +    =   =     +     D   0   m   2 =      = ±  +) V  i   x m   2   D   0 = −         nên h       m +) V  i   m   2 =   , ta có h    2x   y   4   x  4x   2y   8   y   4   2x  +   =             +   =   =            . 2.   H    có nghi  m duy nh  t khi và ch    khi   m   2  Khi      x y  D   m   1  x   D   m   2 D   3m   4 y   D   m   2  +    =   =    +     +    =   =     +  nên  2   2   2 2  m   1   3m   4   11m   28m   18  P   2   m   2   m   2   m   4m   4  +   +   +   +           =   +   =           +   +             +   +  Ta có   3  4(4m   5)   5  P'   P'   0   m   4 (m   2)  +  =      =      = −  +   . Do       1  min P   3  =    t    c khi   5  m   4  = −   . V  y   5  m   4  = −   là giá tr    c  n tìm.  Ví d    4.1.2.   Tùy theo giá tr    c  a tham s    m, hãy tìm giá tr    nh    nh  t c  a bi  u th  c   (   )   (   ) 2   2  P   x   2my   1   mx   2y   2m   1 =      +   +      +      .  L  i gi  i.  Xét h    ph  ng trình   x   2my   1   0   x   2my   1  mx   2y   2m   1   0   mx   2y   2m   1     +   =      = −             +      =      = −   +      (*) Ta có:   (   ) 2 1   2m  D   2 m   1 ,  m   2   =   =      (   ) 2 x  1   2m  D   2   2m(2m   1)   2   2m   m   1  2m   1   2      =   =         =      +   +    +      ,  y  1   1  D   m   1  m   2m   1   =   = −   +    +   .     N  u   m   1    thì h    (*) có nghi  m nên   min P   0 =     N  u   m   1 = −   thì ta có:   (   ) 2   2  P   x   2y   1   (x   2y   3) =   +   +   +   +   +

Chuyên đề hệ phương trình – hệ bất phương trình – Nguyễn Tất Thu

Tất cả vì học sinh thân yêu  Facebook cá nhân   : https://www.facebook.com/quang.manngoc   http://qstudy. vn/  1 CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI  PHƯƠNG TRÌNH  Phương trình căn thức  Dạng 1. Phương pháp nâng lũy thừa.  Kiến thức cơ bản:     Phương trình              2 0 g x f   x   g x   f   x   g   x                        Phương trình              0  0  f   x f   x   g x   g x f   x   g x                              Ví dụ 1.   Giải phương trình       2   5   4 x   x   x                .  Lời giải.      5  2  x      . Phương trình đã cho tương đương với:              2   2 2 4   0   4 2   5   4   2   5   8   16 2   5   4 4 4   7 3   7   0 10   21   0  x   x pt   x   x   x   x   x x   x x x   x x   x x   x                                                                                                                                   Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là   7 x      .  Ví dụ 2.   Giải phương trình       2   2   4   2 x   x   x   x                   .  Lời giải.      2 x      . Phương trình đã cho tương đương với:  2   2 2   2   1 2 2   4   2   3   2   0  x   x   x pt   x x   x   x   x   x                                                                                 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là       1;   2 x         .  Ví dụ 3.   Giải phương trình      7   4   1   5   6   2   2   3 x   x   x   x   x                           Lời giải.      3  2  x      . Nhận xét rằng       4 2   4   5   9 x   x   x   x   x             , chuyến vế, bình phương phương trình đã cho ta được:Tất cả vì học sinh thân yêu  Facebook cá nhân   : https://www.facebook.com/quang.manngoc   http://qstudy. vn/  2 CÁC EM HỌC TOÁN KHÔNG THẤY TIẾN BỘ , THẦY QUANG SẼ GIÚP CÁC EM THAY ĐỔI                                            7   2   2   3   5   6   4   1 9   5   2   7   8   12   9   5   2   5   6   4   1 3 7   8   12   5   6   4   1   2 4   13   2   0  pt   x   x   x   x x   x   x   x   x   x x x   x   x   x x   x                                                                                              Suy ra   13  2;   4  x   x       . Thử lại thấy thỏa mãn. Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm kể trên.  Ví dụ 4.   Giải phương trình       3 2 1   1   1   3 3  x   x   x   x   x   x x                                Lời giải.      1 x      . Chú ý hằng đẳng thức           3   2 1   1   1 x   x   x   x                , nên phương trình đã cho được viết lại thành:          2 2 1   1   1   1   3 3  x   x   x   x   x   x   x x                                     2 2 2   2 2 1 1   1   1   3 3 1   1   3   1   3 3 1   3   0 1   1 3  x   x x   x   x   x x x   x   x   x   x   x   x x x   x   x ptvn x x                                                                                                                         Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.  Dạng 2. Phương pháp đặt ẩn phụ hoàn toàn hoặc không hoàn toàn.  Kiến thức cơ bản:            t   A x       t   .            t   A x    phương trình sau khi biến đổi chứa hai ẩn   , t x   và xét      Phương trình tổng quát dạng:

Chuyên đề phương trình và bất phương trình – Mẫn Ngọc Quang

Khóa luận tốt nghiệp toán sơ cấp   Sư Phạm Toán 48  Lời mở đầu  Trong bất đẳng thức cổ điển thì bất đẳng thức xoay vòng là một nội dung hay và khó. Có những bất đẳng thức có dạng khá đơn giản nhưng phải mất hàng chục năm, nhiều nhà toán học mới giải quyết được. Ví dụ như bất đẳng thức Shapiro được đặt ra vào năm 1903 bởi Neishbitt. Với   3   số không âm   a, b, c   chứng minh rằng:  a b   +   c   +   b c   +   a   +   c a   +   b      3 2   (  )  và dạng tổng quát: Mở rộng với   n   số   a 1 , a 2 , . . . , a n   thì:  a 1  a 2   +   a 3  +   a 2  a 3   +   a 4  +      +   a n  a 1   +   a 2     n  2  Khì nào đúng, khi nào sai.  sau: 1) Bất đằng thức đúng với   n   lẻ      23  2) Bất đằng thức đúng với   n   chẵn      12  Còn lại sai. Hoàn toàn tự nhiên ta thấy còn rất nhiều dạng bất đẳng thức xoay vòng khác thì bất đẳng thức là gì, khi nào đúng, khi nào sai hoặc luôn luôn đúng. Trong bài luận văn này chúng tôi xây dựng được một dạng bất đẳng thức xoay vòng tổng quát mà các trường hợp riêng là những bài toán khó và rất khó có thể sử dụng trong những đề thi học sinh giỏi.  Luận văn này gồm có 2 chương: Chương 1: Bất đẳng thức xoay vòng (Trình bày những kết quả đã có về các bài bất đẳng thức phân thức.) Chương 2: Một dạng bất đẳng thức xoay vòng (Xây dựng bất đẳng thức với các trường hợp đơn giản, tổng quát bài toán)  GV hướng dẫn: TS Nguyễn Vũ Lương   1   Sinh viên: Nguyễn Văn CươngKhóa luận tốt nghiệp toán sơ cấp   Sư Phạm Toán 48  Em xin chân thành cảm ơn các các thầy cô khoa Toán-Cơ-Tin học trong thời gian học tập ở trường Khoa Học Tự Nhiên, các thầy cô Khoa Sư Phạm ĐH Quốc Gia Hà Nội, các bạn trong lớp Sư phạm Toán 48. Đặc biệt là sự hướng dẫn, giúp đỡ tận tình của thầy TS Nguyễn Vũ Lương đã giúp đỡ em hoàn thành khóa luận này.  GV hướng dẫn: TS Nguyễn Vũ Lương   2   Sinh viên: Nguyễn Văn Cương

Chuyên đề bất đẳng thức xoay vòng – Nguyễn Văn Cương

Phương trình   - B    - H    phương trình chứ a tham s    Luy  n thi THPT Qu  c gia 2016  Giáo viên:   LÊ BÁ B  O...0935.785.115...   - 1 -   CLB Giáo viên tr    TP Hu   CHUYÊN ĐỀ :  BÀI TOÁN THAM S    TRONG PHƢƠNG TRÌNH,  B    VÀ H    PHƢƠNG TRÌNH  I- LÝ THUY  T:   M  t s    d  ng: Cho h ̄m sè   liªn tôc trªn tËp D. ( ) y   f x   Gi    s    trên D t  n t  i     x   D   x   D  min   max ; f   x   f   x        , n  u không ta c  n l  p b  ng bi  n thi  t lu  n.  D  ng 1:  Ph¬ng tr×nh   cã nghiÖm f   x   m   x   D      Phương   pháp:     x   D   x   D  ycbt   min   max f   x   m   f   x               D  ng 2:  B©t ph¬ng tr×nh   cã nghiÖm f   x   m   x   D      Phương   pháp:  x   D  ycbt   min   f   x   m         D  ng 3:  B©t ph¬ng tr×nh   nghiÖm ®óng f   x   m   x   D         Phương   pháp:  x   D  ycbt   max m   f   x         D  ng 4:  B©t ph¬ng tr×nh   cã nghiÖm f   x   m   x   D      Phương pháp:  x   D  ycbt   max m   f   x         D  ng 5:  B©t ph¬ng tr×nh   nghiÖm ®óng f   x   m   x   D         Phương   pháp:  x   D  ycbt   min   f   x   m         D  ng 6:  Cho h ̄m sè    y   f   x   D  Khi ®ã:     f u   f v   u   v         * THU  T TOÁN:      gi  i các bài toán tìm giá tr    tham s    m để   phương trình (PT), bất phương  trình (BPT) có nghi  m ta có th    th  c hi  c sau: ThuËt to²n 1:   i v  i bài toán không c  t    n ph   Bƣớ c 1:   Bi    v    d  ng        f   x   g m                      hoÆc   hoÆc ; f   x   g m   f   x   g m      Bƣớ c 2:   L  p b  ng bi  n thiên c  a hàm s     f  cã tËp x²c ®Þnh D , y   f   x    . Suy ra:     x   D   x   D  min   max ,   . f   x   f   x        ( n  u có )  Bƣớ c 3:   S    d  ng các nh    ph  t lu  n. ThuËt to²n 2:   i v  t    n ph   Bƣớ c 1:    t    n ph   t   x     . T     u ki  n ràng bu  c c  a x   suy ra   mi  n giá tr   t   x     .Phương trình   - B    - H    phương trình chứ a tham s    Luy  n thi THPT Qu  c gia 2016  Giáo viên:   LÊ BÁ B  O...0935.785.115...   - 2 -   CLB Giáo viên tr    TP Hu   Gi    s  : f  x   D   t   X             .  Bƣớ c 1:   Lúc này, bi    v    d  ng        f t   h m    ,                     hoÆc   hoÆc ; f t   h m   f t   h m      . Lúc này bi  n lu  u ki  n có nghi  m c  a PT        f t   h m    v  i t   X    .  Các bướ c còn l    thu  t toán 1. *   V  i h    phương trìn h có ch  a tham s  c là d  u ki  n có nghi  m c  a các d  ng h     c thù, ho    phương trình chứ a 1    n ( có th    là    n ph  ) v    xét điề u ki  n có nghi  m trên mi  n giá tr    c  a    n ( ho  c    n ph  ) đó.  II- CÁC BÀI T  P MINH HO  :  Bài t  p 1: T×m c²c gi² trÞ cña m ®Ó ph¬ng tr×nh:   cã nghiÖm. 2  9   9 x   x   x   x   m                  Bài gi  i:    0   9 x     Pt   (*) 2   2  9   2   (9   )   9   9   2   (9   )   9 x   x   x   x   x   x   m   x   x   x   x   m                                                (9   )   0   9 t   x   x   x            * Tìm điề u ki  n c  a t   :  Cách 1:   Theo BDT Cauchy: 9   9   9 (9   )   0 2   2   2  x   x t   x   x   t                          Cách 2:   Ta có / 2  2   9   9 0   2 2   9  x t   x x   x                     BBT: Do ®ã:   9 0   2  t      * Lóc ®ã ph¬ng tr×nh (*) trë th ̄nh:   (* *) 2   2  9   2   2   9 t   t   m   t   t   m                        XÐt h ̄m sè   . Ta cã: 2   / 9 ( )   2   9   0   ( )   2   2   0   1 2  f t   t   t   t   f   t   t   t                              L  p b  ng bi  n thiên:

Phương trình, bất phương trình và hệ phương trình chứa tham số – Lê Bá Bảo

ThS. Leâ Vaên Ñoaøn     DAØNH CHO HOÏC SINH LUYEÄN THI THPT QUOÁC GIA     BOÀI DÖÔÕNG HOÏC SINH GIOÛI 10, 11, 12     THAM KHAÛO CHO GIAÙO VIEÂN  NHAØ XUAÁT BAÛN ÑAÏI HOÏC QUOÁC GIA HAØ NOÄIM  C L  C  Ph  n I.   Phương trình, bất phương trình vô tỷ   ........................................ 3  Bài 1 .   Phương trình vô tỷ   cơ bả n   ....................................................................... 3  Bài 2 .   Gi    b    tích s    ............................ 11 S    d  ng phép bi    ................................................. 11 K    thu  ng liên h  p ............................................................. 17  Bài 3 .   Gi    trình vô t    b  t    n ph    ................ 64 D  ng 1. . ( )   .   ( )   0 n a f x   b   f x   c          ............................................................. 64 D  ng 2. .   ( )   .   ( )   2   .   ( ). ( )   ( ) a   f x   b   g x   ab   f x g x   h x          .............................. 76 D  ng 3. ( )   ( ) n   m a   f x   b   f x   c                ................................................. 83 D  ng 4. 2   2  .   0 n   n n  a   A   b   A B   c   B                   ................................................. 89 D  ng 5. . ( )   . ( )   .   ( ). ( ) a f x   b g x   c   f x g x       ................................................... 92 D  ng 6. 2   2  . ( )   . ( )   .   .   ( )   .   ( ) a f x   b g x   c   d f   x   e g   x          ..................................... 103 D  ng 7. ( )   ( )   ( )   ( )   ( )   ( )  n   n f x   b x   a x   a x   f x   b x                          ................................ 108 D  ng 8. (   )   .   .   , n   n  ax   b   p   cx   d   q x   r                v  i     2; 3 n    ........................ 117 D  ng 9. 2   2  2   2 x   a   x   b   a   b   x   a   x   b   a   b   cx   d                                  ....... 122 D  ng 10.    t    n ph    không hoàn toàn ............................................ 124 D  ng 11. 2  1   1   1 mx   n   a   x   b   x   c   x                      ................................. 129 D  ng 12.    t    n ph    3    n d  a vào h  ng th  c ....................... 130 D  ng 13. .   .   . x   m   x   n   x   n   x   p   x   p   x   m   x                            ........... 132 D  ng 14.    t 1    n ho  c 2      h    phương trình   ................... 134 D  ng 15.    t    n ph    b  ng giác hóa ............................. 152  Bài 4 .   Gi    b    ................. 165 S    d  u c  a hàm s    .................................................... 165 S    d  ng b  ng th  c c     n .......................................................... 186     t  ng các s    không âm ho  c n   n  A   B    .................................... 203  Bài 5 .   B    ........................................................................ 212 B      cơ bả n............................................................. 212 B    d  ng chia kho    ....................... 214 Nhóm b    có m  u s    ........................................ 216     d  ng tích s    b  ng phép bi    .................. 222     tích s    b  ng k    thu  t liên h  p .............................................. 225 S    d    ........................................................... 237 S    d  t    n ph    .................................................... 250  Bài 6.   Phương trình, bất phương trình chứ a tham s    ............................... 251

Tư duy sáng tạo tìm tòi lời giải PT – BPT – HPT đại số và vô tỷ – Lê Văn Đoàn

Nguyễn Tuấn Anh BẤT ĐẲNG THỨC QUA CÁC ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN NĂM HỌC 2016 - 2017 Ngày 10 tháng 11 năm 2016 Tóm tắt nội dung Tài liệu bao gồm 2 phần chính: Phần 1: Lời giải câu Bất đẳng thức trong đề thi chọn đội tuyển của các trường Chuyên, các Tỉnh, đề thi HSG cấp tỉnh năm học 2016 - 2017, cũng như các kỳ thi tập huấn đội tuyển (Gặp gỡ toán học, Trại hè... năm 2016). Phần 2: Phần bổ sung các kỹ thuật, phương pháp chứng minh BĐT. 1 Xin gửi lời cám ơn chân thành đến các bạn trong nhóm luôn ủng hộ để hoàn thành tài liệu. Mọi đóng góp về tài liệu xin gửi về: anh110004@gmail.com Nguyễn Tuấn Anh THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu - Đồng Tháp Mục lục 1 Phần 1 2 2 Phần 2 58 2.1 Kỹ thuật chọn điểm rơi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.2 Phương pháp tiếp tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.3 Phương pháp pqr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.3.1 Một số phân tích cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.3.2 Một số đánh giá đơn giản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2.3.3 BĐT Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 2.3.4 Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.4 Phương pháp dồn biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 2.5 Phương pháp SOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 2.5.1 Các phân tích cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 2.5.2 75 2.5.3 Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 1 Các kỹ thuật được trình bày trong phần 1 cũng như các kỹ thuật thông dụng hiện nay. 1 THPT chuyên Nguyễn Quang DiêuNguyễn Tuấn Anh 1 Phần 1 Bài 1 (Tp. HCM - Ngày thứ 1) . Với a, b, c là các số thực có tổng bằng 0 . Tìm GTNN của biểu thức: P = ( a 2 + 1 ) 2 + ( b 2 + 1 ) 2 + ( c 2 + 1 ) 2 + 6 6 abc L G IẢI. Nếu a = b = c = 0 thì P = 3 . Ngược lại ta chỉ cần tìm GTNN của P trong trường hợp có hai số dương và một số âm (tại sao?). Không mất tính tổng quát ta giả sử a, b > 0; c < 0 khi đó ta đặt c = d với d > 0 ta được: d = a + b Vậy P = a 4 + b 4 + d 4 + 2 ( a 2 + b 2 + d 2 ) 6 6 abd + 3 Theo BĐT AM - GM ta lại có: a 4 + b 4 + d 4 + 2 ( a 2 + b 2 + d 2 ) = a 4 + b 4 + 16 lần d 4 16 + ... + d 4 16 + ( 2 3 a 2 + 2 3 a 2 + 2 3 a 2 ) + ( 2 3 b 2 + 2 3 b 2 + 2 3 b 2 ) + 12 lần 1 6 d 2 + ... + 1 6 d 2 36 36 2 6 .a 10 b 10 d 88 2 64 . 2 12 . 3 18 = 36 36 a 10 b 10 d 88 2 64 . 2 6 . 3 18 = 6 36 3 18 .a 10 b 10 d 88 2 34 = 6 36 3 18 .a 10 b 10 d 36 . ( d 2 ) 26 2 34 Vì ( d 2 ) 2 = ( a + b 2 ) 2 ab d 2 2 2 ab Do đó: a 4 + b 4 + d 4 + 2 ( a 2 + b 2 + d 2 ) 6 36 3 18 .a 10 b 10 d 36 . ( d 2 ) 26 2 34 6 36 3 18 . 2 52 .a 10 b 10 d 36 .a 26 .b 26 2 34 = 6 36 3 18 . 2 18 abd = 6 6 abd Vậy P = a 4 + b 4 + d 4 + 2 ( a 2 + b 2 + d 2 ) 6 6 abd + 3 3 2 THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu

Bất đẳng thức trong các đề thi tuyển chọn học sinh giỏi – Nguyễn Tuấn Anh

4. BAÁT PHÖÔNG TRÌNH  Baøi 01 BAÁT ÑAÚNG THÖÙC I 1. Khái niệm bất đẳng thức Các mệnh đề dạng '' '' a b < hoặc '' '' a b > 2. Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương Nếu mệnh đề '' '' a b c d < < c d < là bất đẳng thức hệ quả của bất đẳng thức a b < và cũng viết là . a b c d < < Nếu bất đẳng thức a b < là hệ quả của bất đẳng thức c d < và ngược lại thì ta nói hai bất đẳng thức tương đương với nhau và viết là . a b c d < < 3. Tính chất của bất đẳng thức Như vậy để chứng minh bất đẳng thức a b < ta chỉ cần chứng minh 0. a b < Tổng quát hơn, khi so sánh hai số, hai biểu thức hoặc chứng minh một bất đẳng thức, ta có thể sử dụng các tính chất của bất đẳng thức được tóm tắt trong bảng sau Tính chất Nội dung Tên gọi a b a c b c < + < + Cộng hai vế của bất 0 c > a b ac bc < < 0 c < a b ac bc < > Nhân hai vế của bất a b < và c d < a c b d + < + Cộng hai bất đẳng thức cùng chiều 0, 0 a c > > a b < và c d < ac bd < Nhân hai bất đẳng thức cùng chiều n 2 1 2 1 n n a b a b + + < < n và 0 a > 2 2 n n a b a b < < Nâng hai vế của bất thức lên một lũy thừa 0 a > a b a b < < 3 3 a b a b < < Khai căn hai vế của một bất đẳng thức Chú ý Ta còn gặp các mệnh đề dạng a b hoặc . a b Các mệnh đề dạng này cũng được gọi là bất đẳng thức. Để phân biệt, ta gọi chúng là các bất đẳng thức không ngặt và gọi các bất đẳng thức dạng a b < hoặc a b > là các bất đẳng thức ngặt . Các tính chất nêu trong bảng trên cũng đúng cho bất đẳng thức không ngặt. II BẤT ĐẲNG THỨC GIỮA TRUNG BÌNH CỘNG V7 TRUNG BÌNH NHÂN (BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI) 1. Bất đẳng thức Cô-si CHUÛ ÑEÀ BAÁT ÑAÚNG THÖÙC Trung bình nhân của hai số không âm nhỏ hơn hoặc bằng trung bình cộng của chúng ( ) , , 0. 1 2 a b ab a b + 2 a b ab + = xảy ra khi và chỉ khi . a b = 2. Các hệ quả Hệ quả 1 Tổng của một số dương với nghịch đảo của nó lớn hơn hoặc bằng 2. 1 2, 0. a a a + > Hệ quả 2 Nếu , x y cùng dương và có tổng không đổi thì tích xy lớn nhất khi và chỉ khi . x y = Hệ quả 3 Nếu , x y cùng dương và có tích không đổi thì tổng x y + nhỏ nhất khi và chỉ khi . x y = III BẤT ĐẲNG THỨC CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Nội dung 0, , x x x x x x a a x a 0 a > x a x a hoặc x a a b a b a b + + CÂU HỎI V7 B7I TẬP TRẮC NGHIỆM 10 NGUYỄN PHÚ KHÁNH HUỲNH ĐỨC KHÁNH Liên hệ tác giả HUỲNH ĐỨC KHÁNH 0975120189 https://www.facebook.com/duckhanh0205 Khi mua có sẵn File đề riêng; File đáp án riêng để thuận tiện cho việc in ấn dạy học CAÂU HOÛI TRAÉC NGHIEÄM Câu 1. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sau đây đúng? A. . a b a c b d c d < < < B. . a b a c b d c d > > > C. . a b a d b c c d > > > D. 0 . 0 a b a c b d c d > > > > > Lời giải. Ta có . a b a b a b a d b c c d c d d c > > > > > < − > − Chọn C. Câu 2. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sau đây sai? A. . 2 a b b c a a c > + > > B. . a b a c b a a c > > >

Bài tập bất đẳng thức và bất phương trình có lời giải chi tiết – Nguyễn Phú Khánh, Huỳnh Đức Khánh

Người biên soạn: Trần Minh Quang   Trang 1/53  MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC TRONG CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI, TUYỂN SINH ĐH-THPT  QUỐC GIA VÀ LỚP 10 CHUYÊN TOÁN  Trong các kì thi học sinh giỏi môn Toán THCS, THPT và các kì thi tuyển sinh lớp 10 chuyên, nội  dung về bất đẳng thức và giá trị lớn nhất, nhỏ nhất xuất hiện một cách đều đặn trong các đề thì với các bài toán  ngày càng khó hơn. Trong chủ đề này, mình đã tuyển chọn và giới thiệu một số bài toán về bất đẳng thức và  giá trị lớn nhất, nhỏ nhất được trích trong các đề thi học sinh giỏi môn toán cấp tỉnh và các đề thi chuyên toán  các năm gần đây.  Bài 1.   a) Cho các số dương a, b, c tùy ý. Chứng minh rằng:         1   1   1   9 a   b   c   a   b   c                              b) Cho các số dương a, b, c thoả mãn   3 a   b   c          . Chứng ming rằng:  2   2   2  1   2009   670  a   b   c   ab   bc   ca                  Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Hải Phòng năm 2009 - 2010  Lời giải  a) Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 3 số dương   3  3  1   1   1   1  ;   3 a   b   c   abc   a   b   c   abc                   Suy ra         1   1   1   9 a   b   c   a   b   c                              Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi   a   b   c      b) Ta có:       2  2   2   2   2007  3   669  3  a   b   c  ab   bc   ca   a   b   c   ab   bc   ca   ab   bc   ca                                                     2   2   2  2   2   2  1   1   1   2   2   2   9 a   b   c   ab   bc   ca  a   b   c   ab   bc   ca   ab   bc   ca                                                       Suy ra      2 2   2   2  1   1   9   1  a   b   c   ab   bc   ca   a   b   c                           Do đó ta được   2   2   2  1   2009   670  a   b   c   ab   bc   ca                   .  Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi   1 a   b   c          .  Bài 2.   Với số tự nhiên   3 n      . Chúng minh rằng   1  2  n S      .  Với                       1   1   1  ...  3 1   2   5   2   3   2   1   1  n S   n   n   n                           Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Bình Định năm 2009-2010  Lời giải  Với   3 n      , ta có            2   2  1   1   1   1   1   1   1  2   1   2 2   1.   1 2   1   1   4   4   1   4   4  n   n   n   n   n   n  n   n   n   n   n n   n   n   n   n   n   n                                                                         n +1 -   n  Do đó ta được   1   1   1   1   1   1   1   1   1  1   ...   1  2   2   2 2   2   3   1   1  n S   n   n   n                                                                   Vậy bất đẳng thức được chứng minh.Người biên soạn: Trần Minh Quang   Trang 2/53  Bài 3.   Chứng minh rằng      2  1  2   3   2  m  n   n           , với mọi số nguyên m, n.  Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Bình năm 2009-2010  Lời giải  Vì m, n là các số nguyên nên   m  n   là số hữu tỉ và   2   là số vô tỉ nên   2   0  m  n         .  Ta xét hai trường hợp sau  + Trường hợp 1: Với   2  m  n      , khi đó ta được   2   2   2   2  m   2   2   1 n   m   n             hay   1     2  m   2n  Từ đó suy ra       2   2  2   2  2  2   2  1  2   2  2   1   1   1   1  2   2   2   2   1   1   3   2  2   2   2   2  m   n   n  n   n   n   n  n  n   n                                                               + Trường hợp 2: Với   2  m  n      , khi đó ta được   2   2   2   2  m   2   2   1 n   m   n             hay   1     2  m   2n  Từ đó suy ra       2   2  2   2  2  2   2  1  2   2  2   1   1   1   1  2   2   2   2   2   1   1   3   2  2   2   2   2  m   m   n   n  n   n   n   n   n  n  n   n                                                                     Vậy bài toán được chứng minh.  Bài 4.   Cho ba số thực a, b, c đôi một phân biệt. Chứng minh rằng:                   2   2   2  2   2   2   2  a   b   c  b   c   c   a   a   b                  Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Vĩnh Phúcnăm 2009-2010  Lời giải  Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với                            2  2   2  a   b   c   ab   bc   ca  b   c   c   a   a   b   b   c   c   a   c   a   a   b   a   b   b   c                                                                             Mà ta lại có                                                                                 1  ab a   b   bc b   c   ca c   a   a   b   b   c   c   a ab   bc   ca  b   c   c   a   c   a   a   b   a   b   b   c   a   b   b   c   c   a   a   b   b   c   c   a                                                                          Do đó bất đẳng thức trên trở thành  2  0  a   b   c  b   c   c   a   a   b                                .  Bất đẳng thức cuối cùng là một bất đẳng thức đúng. Vậy bài toán được chứng minh.  Bài 5.   Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn   3 a   b   c          . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu  thức:  2   2   2  2   2   2  P   ab   bc   ca  a   b   c   a b   b c   c a                        Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Tỉnh Nghệ An năm 2009-2010  Lời giải  Dự đoán được dấu đẳng thức xẩy ra tại   1 a   b   c          và giá trị nhỏ nhất của P là 4. Ta quy bài  toán về chứng minh bất đẳng thức:   2   2   2  2   2   2   4  ab   bc   ca  a   b   c   a b   b c   c a                     

Tuyển tập 300 bài toán bất đẳng thức chọn lọc có lời giải chi tiết

CÁC DẠNG BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỈ VÀ CÁCH GIẢI A. PHƢƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƢƠNG ĐƢƠNG . * Hai bất phƣơng trình đƣợc gọi tƣơng đƣơng khi chúng có cùng tập nghiệm . * Một số phép biến đổi tƣơng đƣơng: +) Cộng (trừ) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức mà không làm thay đổi +) Nhân (chia) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức ( luôn dương hoặc +) Lũy thừa bậc lẻ hai vế, khai căn bậc lẻ hai vế của một bất phương trình. +) Lũy thừa bậc chẵn hai vế, khai căn bậc chẵn hai vế khi hai vế của bất phương trình cùng dương. +) Nghịch đảo hai vế của bất phương trình khi hai vế cùng dương ta phải đổi chiều. I. Kỹ thuật lũy thừa hai vế. 1. Phép lũy thừa hai vế: a) ) ( ) ( ) ( ) ( 1 2 1 2 x g x f x g x f k k . b) ) ( ) ( 0 ) ( ) ( ) ( 2 2 x g x f x g x g x f k k . *) 2 0 B A B B A hoặc 0 0 A B . *) 2 0 0 B A A B B A . *) B A B A 0 . ( Đối với các trường hợp còn lại với dấu , , < các bạn có thể tự suy luận ). 2. Lƣu ý: bất phương trình, còn điều kiện phức tạp nên để riêng. 3. Ví dụ:Bài 1: Giải các BPT sau: a) 1 2 3 x x ; b) 3 1 2 x x x c) 3 4 2 3 x x ; d) 1 4 3 2 x x x Giải: a) 3 0 4 5 4 3 2 1 1 2 3 0 3 0 1 2 1 2 3 2 2 x x x x x x x x x x x . Vậy bất phương trình có tập nghiệm là: ; 3 . b) 7 8 3 1 0 3 0 1 3 1 2 2 2 2 x x x x x x x x x x . Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: ; 7 8 . Hai Bài tập còn lại các bạn tự giải. Bài 2: Giải BPT: x x x 2 1 1 4 (1). Giải:

Bất đẳng thức và bất phương trình